Question

如圖,矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0),AB邊所在直線方程為x-3y-6=0,點T(-1,1)在AD邊所在直線上.

(1)求AD邊所在直線的方程;

(2)求矩形ABCD外接圓的方程;

(3)若動圓P過點N(-2,0),且與矩形ABCD的外接圓外切,求動圓P的圓心的軌跡方程.

Answer 1

解：（1）因為AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為-3.又因為點T（-1，1）在直線AD上，所以AD邊所在直線方程為y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.

（2）由解得A的坐標為（0，-2），因為矩形ABCD兩條對角線交點為M（2，0），所以M為矩形ABCD外接圓圓心，又|AM|=，從而矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8.

（3）因為動圓P過點N，所以|PN|是該圓半徑，又∵動圓P與圓M外切，∴|PM|=|PN|+2，即|PM|-|PN|=2.

故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為22的雙曲線左支.

∵a=,c=2,∴b²=2.故所求軌跡方程為

=1(x≤-).