Question

設(shè)A、B、C及A₁、B₁、C₁分別是異面直線l₁、l₂上的三點(diǎn)，而M、N、P、Q分別是線段AA₁、BA₁、BB₁、CC₁的中點(diǎn)．求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共面

Answer 1

分析：根據(jù)題中的連線情況可知：MN、NP這兩條線段分別可以放到△AA₁B、△BA₁B₁中，利用中位線定理找出它們的大小及平行關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而PQ則比較麻煩，沒有一個(gè)現(xiàn)成的平面可以將其放進(jìn)去，如果想把PQ轉(zhuǎn)化成BC及B₁C₁的話，可以聯(lián)想到向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再由A、B、C及A₁、B₁、C₁分別共線，設(shè)定比例，再代入解決．

解答：證明：

NM

=

1

2

BA

，

NP

=

1

2

A1B1

，
∴

BA

=2

NM

，

A1B1

=2

NP

．
又∵

PQ

=

1

2

（

BC

+

B1C1

），（*）
A、B、C及A₁、B₁、C₁分別共線，
∴

BC

=λ

BA

=2λ

NM

，

B1C1

=ω

A1B1

=2ω

NP

．
代入（*）式得

PQ

=

1

2

（2λ

NM

+2ω

NP

）=λ

NM

+ω

NP

，∴

PQ

、

NM

、

NP

共面．
∴M、N、P、Q四點(diǎn)共面．

點(diǎn)評(píng)：此題將平面向量的基本定理運(yùn)用到立體幾何中的四點(diǎn)共面問題，是個(gè)不錯(cuò)的方法，體現(xiàn)了知識(shí)之間的相互聯(lián)系．