Question

設A、B、C及A₁、B₁、C₁分別是異面直線l₁、l₂上的三點，而M、N、P、Q分別是線段AA₁、BA₁、BB₁、CC₁的中點．求證：M、N、P、Q四點共面

Answer 1

證明：=，=，
∴=2，=2．
又∵=（+），（*）
A、B、C及A₁、B₁、C₁分別共線，
∴=λ=2λ，=ω=2ω．
代入（*）式得=（2λ+2ω）=λ+ω，∴、、共面．
∴M、N、P、Q四點共面．
分析：根據題中的連線情況可知：MN、NP這兩條線段分別可以放到△AA₁B、△BA₁B₁中，利用中位線定理找出它們的大小及平行關系，進行轉化，而PQ則比較麻煩，沒有一個現成的平面可以將其放進去，如果想把PQ轉化成BC及B₁C₁的話，可以聯想到向量進行轉化，然后再由A、B、C及A₁、B₁、C₁分別共線，設定比例，再代入解決．
點評：此題將平面向量的基本定理運用到立體幾何中的四點共面問題，是個不錯的方法，體現了知識之間的相互聯系．