Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ）（θ∈R），

b

=（-

3

，-1），求|

a

-2

b

|的最值及取得最值時θ的取值集合．

Answer 1

分析：根據向量的數量積運算即

a

2=|

a

|2，由題意和向量數量積以及模的坐標運算求出|

a

-2

b

|的平方，利用兩角和的正弦公式進行化簡，再由正弦函數的最值求出所求向量模的最值，注意利用整體思想求出對應的角θ的集合．

解答：解：∵

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（-

3

，-1），
∴|

a

-2

b

||

a

-2

b

|=（

a

-2

b

）²=

a

²-4

a

•

b

+4

b

²（4分）
=1-4×(-

3

cosθ-sinθ)+4×4=17+8(sinθ•

1

2

+cosθ•

3

2

)
=17+8sin(θ+

π

3

)（7分）
當sin(θ+

π

3

)=1，即θ=2kπ+

π

6

， k∈Z時，|

a

-2

b

|有最大值為

25

=5（11分）
當sin(θ+

π

3

)=-1，即θ=2kπ-

5π

6

， k∈Z時，|

a

-2

b

|有最小值為

9

=3（15分）

點評：本題考查了利用向量的數量積來求向量的模，即

a

2=|

a

|2的應用，根據向量數量積的坐標運算把已知條件代入，利用兩角和的正弦公式進行化簡，利用整體思想求出最值，考查了整體思想．