Question

已知函數f(x)=1-

2

5x+1

．
（Ⅰ）證明：f（x）是R上的增函數；
（Ⅱ）當x∈[-1，2）時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數單調性的定義證明：f（x）是R上的增函數；
（Ⅱ）根據函數的單調和值域之間的關系求函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）證明：f（x）是R上的增函數；
在R內任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

5x1-1

5x1+1

-

5x2-1

5x2+1

=

2(5x1-5x2)

(5x1+1)(5x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴5x1＜5x2，
即5x1-5x2＜0，
∴f(x1)-f(x2)=

5x1-1

5x1+1

-

5x2-1

5x2+1

=

2(5x1-5x2)

(5x1+1)(5x2+1)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）是R上的增函數．
（Ⅱ）∵f（x）是R上的增函數，
∴f（x）在[-1，2）上的單調遞增，
∵f(-1)=-

2

3

，f(2)=

12

13

，
∴f(x)的值域為[-

2

3

，

12

13

)．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷和證明，利用函數單調性的定義是解決函數單調性的基本方法，利用函數的單調性求函數的值域是解題的關鍵．