Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=4，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，（n≥2，n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2（n∈N^*），求證：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，可遞推Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，兩式作差得a_n-a_n-1=1進而得到通項公式．
（2）用數學歸納法證明，先由證當n=2時，不等式成立．再假設當n=k（k≥2，k∈N⁺）時，不等式成立，遞推到當n=k+1時成立即可．

解答：解：（1）當n≥3時，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，
Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，
可得：an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2
∴a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N⁺）．
∵a₁+a₂=2a₂+2-1，∴a₂=3
可得，an=

4，(n=1) n+1，(n≥2，n∈N+)

（2）①當n=2時，b₂=b₁2-2=14＞3=a₂，不等式成立．
②假設當n=k（k≥2，k∈N⁺）時，不等式成立，即b_k＞k+1
那么，當n=k+1時，b_k+1=b_k2-（k-1）b_k-2=b_k（b_k-k+1）-2＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2
所以當n=k+1時，不等式也成立．
根據①，②可知，當n≥2，n∈N+時，b_n＞a_n．

點評：本題主要考查由數列的通項和前n項和之間的關系來求數列的通項公式，要注意分類討論，還考查了用數學歸納法證明不等式，要注意兩點，一是遞推基礎不能忽視，二是遞推時要變形，符合假設的模型．