Question

若函數f(x)=

m2+m+1

x2-4mx+12

在[-2，+∞）上為減函數，則實數m的取值范圍為

（-2，-1]

．

Answer 1

分析：先判斷出m2+m+1=(m+

1

2

)2+

3

4

＞0，則根據復合函數的單調性關系可知，[-2，+∞）是函數t=g（x）=x²-4mx+12的單調遞增區間，結合定義域確定不等關系，即可求出m的取值范圍．

解答：解：∵m2+m+1=(m+

1

2

)2+

3

4

＞0，∴要使函數f(x)=

m2+m+1

x2-4mx+12

在[-2，+∞）上為減函數，
設t=g（x）=x²-4mx+12，則[-2，+∞）是函數t=g（x）=x²-4mx+12的單調遞增區間，且g（-2）＞0，
即t=g（x）=x²-4mx+12的對稱軸x=-

-4m

2

=2m≤-2，解得m≤-1．
又g（-2）=4+8m+12＞0，即8m＞-16，解得m＞-2，
綜上-2＜m≤-1．
即實數m的取值范圍為（-2，-1]．
故答案為：（-2，-1]．

點評：本題主要考查函數單調性的應用，利用復合函數單調性之間的關系確定不等條件是解決本題的基本思路，確定分子大于0是解決本題的關鍵，利用對稱軸和區間之間的關系，并結合函數的定義域是解決本題的難點，本題綜合性較強．