Question

函數f（x）的定義域為D，若滿足如下兩條件：①f（x）在D內是單調函數；②存在[

m

2

，

n

2

]⊆D，使得f（x）在[

m

2

，

n

2

]上的值域為[m，n]，那么就稱函數f（x）為“囧函數”，若函數f(x)=loga(ax-t)，(a＞0，a≠1)是“囧函數”，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，函數f（x）在[

m

2

，

n

2

]上的值域為[m，n]，且是單調遞增的，a＞1 且 

loga(a  m 2 -t)=m loga(a  n 2 -t)=n

 即

a m 2 -t=am a n 2 -t=a n

，可得a^x-a

x

2

+t=0 有2個不等實數根，再根據判別式△＞0求得t的范圍．

解答：解：∵函數f(x)=loga(ax-t)，(a＞0，a≠1)是“囧函數”，
∴函數f（x）在[

m

2

，

n

2

]上的值域為[m，n]，且是單調遞增的，
∴a＞1 且 

loga(a  m 2 -t)=m loga(a  n 2 -t)=n

，∴

a m 2 -t=am a n 2 -t=a n

，
∴a^x-a

x

2

+t=0 有2個不等實數根，∴△=1-4t＞0．
解得 t＜

1

4

，
故答案為（-∞，

1

4

）．

點評：本題考查函數的值域，難點在于構造函數，轉化為兩函數有不同二交點，利用方程解決，屬于中檔題．