Question

如圖，二次函數y=-mx²+4m的頂點坐標（0，8），矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的封閉圖形內．
（I）求二次函數f（x）的解析式；
（II）設點A的坐標為（x，y），試求矩形ABCD的周長p關于自變量x的函數解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（III）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的面積為8？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意直接利用待定系數法求解即可：y=-2x²+8；
（2）根據解析式和圖可表示出AD和AB，再表示出矩形ABCD的周長p與自變量x的函數關系，求出x的范圍；
（3）先假設存在，再由（2）表示出矩形的面積，再求導、臨界點，以及對應的單調區間，再求出矩形面積的范圍，再進行判斷即可．
解答：解：（1）∵二次函數y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，8），
∴4m=8，即m=2，
則二次函數的解析式為：f（x）=-2x²+8，
（2）設點A（x，y），由圖得：0＜x＜2，
∵點A在拋物線y=-2x²+8上
∴y=-2x²+8，則AD=2y=-4x²+16，AB=2x，
∴=2（AD+AB）=2（2x-4x²+16）=-8x²+4x+32（0＜x＜2）
（3）假設存在這樣的矩形ABCD，使它的面積為8，
由（2）得，S=AD•AB=2x（-4x²+16）=-8x³+32x，且0，
∴S′=-24x²+32，由-24x²+32=0得，，
當0＜x＜時，S′＞0；當＜x＜2時，S′＜0，
∴S在（0，）上遞增，在（，2）上遞減，
則當x=時，矩形的面積取到最大值為s=＞8，
∵當x=0時，S=0；當x=2時，S=0＜8，
∴S∈（0，]
故存在這樣的矩形ABCD，使它的面積為8．
點評：本題考查的二次函數與幾何矩形相結合的應用，導數與函數單調性、最值的關系，比較綜合，此題算是中檔題，考點還是比較基礎的．