Question

7．設函數f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件可得關于a，b的方程組，解出并驗證即可；
（2）利用導數先求出函數f（x）在區間[0，3]上的極大值，再求出區間端點的函數值，進行比較，得出最大值．又已知要求的問題：對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²，x∈[0，3]．進而解出即可．

解答 解：（1）∵函數f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c，
∴f′（x）=6x²+6ax+3b．
∵函數f（x）在x=1及x=2時取得極值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=6+6a+3b=0}\\{f′（2）=24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
經驗證當a=-3，b=4時，函數f（x）在x=1及x=2時取得極值．
∴a=-3，b=4；
（2）由（1）可知：f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x=1，2，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故函數f（x）在區間[0，1），（2，3]上單調遞增；在區間（1，2）上單調遞減．
∴函數f（x）在x=1處取得極大值，且f（1）=5+8c．
而f（3）=9+8c，∴f（1）＜f（3），
∴函數f（x）在區間[0，3]上的最大值為f（3）=9+8c．
對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²，x∈[0，3]?9+8c＜c²，
由c²-8c-9＞0，解得c＞9或c＜-1．
∴要求的c的取值范圍是（-∞，-1）∪（9，+∞）．

點評 充分利用導數求函數的極值及對要求的問題正確轉化是解題的關鍵．