Question

電燈可在點A與桌面的垂直線上移動（如圖），在桌面上另一點B離垂足O的距離為a，為使點B處有最大的照度（照度I與sin∠OBA成正比，與r²成反比，且比例系數均為正的常數），則電燈A與點O的距離為（　　）

• A．

  3 2

  2

  a
• B．

  2

  2

  a
• C．

  2

  a
• D．

  2

  3

  a

Answer 1

分析：根據題意列出照度函數關系式，建立三角函數模型，然后用均值不等式求最值即可．

解答：解：依題意，記∠OBA=∅，可設照度I=k•

sin∅

r2

，（k為正常數），則有cosφ=

a

r

，I=k

sin∅cos2∅

a2

，
又sinφcos²φ=

sin2∅cos4∅

=

4sin2∅ 1 2 cos2∅ 1 2 cos2∅

≤

( sin2∅+ 1 2 cos2∅+ 1 2 cos2∅ 3 )3

=

4( 1 3 )3

．
當且僅當sin²φ=

1

2

cos2φ即，tanφ=

2

2

時，I有最大值，此時

AO

a

=

2

2

，即AO=

2

2

a
故選B．

點評：解答此題要注意審題，理解照度的含義，建立三角函數模型，考查均值不等式的應用．