Question

某風景區在一個直徑AB為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）．在點A與圓弧上的一點C之間設計為直線段小路，在路的兩側邊緣種植綠化帶；從點C到點B設計為沿弧的弧形小路，在路的一側邊緣種植綠化帶．（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）
（1）設∠BAC=θ（弧度），將綠化帶總長度表示為θ的函數S（θ）；
（2）試確定θ的值，使得綠化帶總長度最大．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數結合弧長公式，可將綠化帶總長度表示為θ的函數S（θ）；
（2）求導數，確定函數的單調性，即可確定θ的值，使得綠化帶總長度最大．

解答：解：（1）由題意，AC=100cosθ，直徑AB為100米，
∴半徑為50米，圓心角為2θ，∴

BC

=100θ，
∴綠化帶總長度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，

π

2

）；
（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，
∴S′（θ）=-200sinθ+100，
令S′（θ）=0，可得θ=

π

6

．
函數在（0，

π

6

）上單調遞增，在（

π

6

，

π

2

）上單調遞減，
∴θ=

π

6

時，綠化帶總長度最大．

點評：利用導數可以解決實際問題中的最值問題，關鍵是確定函數解析式，正確運用導數工具，確定函數的單調性．