Question

已知函數f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1(ω＞0，x∈R)，且函數f（x）的最小正周期為π．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數f（x）昀圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數了y=g（x）的圖象，求函數y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1
=

3

sinωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∴函數f（x）的最小正周期為

2π

ω

=π；
∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（Ⅱ）依題意，將函數f（x）昀圖象向右平移

π

6

個單位，
得到函數g（x）=2sin（2x-

π

3

+

π

6

）-1=2sin（2x-

π

6

）-1的圖象，
函數g（x）的解析式g（x）=2sin（2x-

π

6

）-1．
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）-1≤1
函數y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域為[-2，1]．