Question

設函數f(x)=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x（x∈R），其中m＞0為常數
（1）當m=1時，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率；
（2）求函數的單調區間與極值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，根據m=1，我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點斜式方程即可得到答案．
（2）由已知我們易求出函數的導函數，令導函數值為0，我們則求出導函數的零點，根據m＞0，我們可將函數的定義域分成若干個區間，分別在每個區間上討論導函數的符號，即可得到函數的單調區間．

解答：解：（1）當m=1時，f（x）=-

1

3

x³+x²，f′（x）=-x²+2x，故f′（1）=1．
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．
（2）f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因為m＞0，所以1+m＞1-m．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞增	極小值	遞增	極大值	遞減

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內是減函數，在（1-m，1+m）內是增函數．
函數的極小值為：f（1-m）=-

4

3

m3+m2-

1

3

；
函數的極大值為：f（1+m）=

2

3

m3+m2-

1

3

．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用導數研究曲線上某點切線方程，其中根據已知函數的解析式求出導函數的解析式是解答本題的關鍵．