【題目】如圖所示，
平面ABCD，
為等邊三角形，
，
，M為AC的中點．
證明：
平面PCD；
若PD與平面PAC所成角的正切值為
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
因為M為等邊
的AC邊的中點，所以
依題意
，且A、B、C、D四點共面，由此能證明
平面PCD；
因為，
，所以
平面PAC，故PD與平面PAC所成的角即為
，在等腰
中，過點M作
于點E，再在
中作
于點F，
即為二面角
的平面角，由此能求出二面角的正切值．
證明：因為M為等邊的AC邊的中點，所以
．
依題意，且A、B、C、D四點共面，所以
．
又因為
平面PCD，
平面PCD，所以平面PCD．
解：因為，，
所以平面PAC，故PD與平面
PAC所成的角即為．
不妨設
，則
．
由于
，所以
．
在等腰中，過點M作于點E，
再在中作于點
.
因為，
，所以
平面PCD，可得
．
又，
所以即為二面角的平面角．
由題意知
，
，
，
所以
，
即二面角的正切值是．
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的左右焦點分別為
，
，實軸長為6，漸近線方程為
，動點
在雙曲線左支上，點
為圓
上一點，則
的最小值為
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個口袋里裝有大小相同的5個小球，其中紅色兩個，其余3個顏色各不相同
現從中任意取出3個小球，其中恰有2個小球顏色相同的概率是______；若變量X為取出的三個小球中紅球的個數，則X的數學期望
______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某地區足球特色學校的發展狀況，某調查機構得到如下統計數據：
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色學校y（百個） | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
（1）根據上表數據，計算y與x的相關系數r，并說明y與x的線性相關性強弱（已知：
則認為
與
線性相關性很強；
，則認為與線性相關性一般，
，則認為y與x線性相關性較弱）
（2）求y與x的線性回歸方程，并預測該地區2019年足球特色學校的個數（精確到個位）
參考公式：
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如上圖.現在圖（3）中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）.在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的.已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需用時10分鐘.那么經過5分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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