Question

已知函數，．

（1）若直線恰好為曲線的切線時，求實數的值；

（2）當，時（其中無理數），恒成立，試確定實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）.（2）實數的取值范圍是[．

【解析】

試題分析：（1）切點處的導函數值，為切線的斜率.因此，設切點為，可得，即，

由（1）解得或.分別代人（2）討論得到.

（2）由得：（4），

可化為：；

只需討論確定，，，的最大值.

試題解析：（1）設切點為，由題意得：

，即，

由（1）解得或.（4分）

將代入（2）得：.

將代入（2）得：（3），

設，則，

所以在（0,2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，，所以方程（3）無實數解。（6分）所以，.

（2）由得：（4），

由知：在（0,1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

所以,的最小值為，

所以不等式（4）可化為：；（8分）

設，，，

當，時，，所以；

當，1）時，，所以；

所以在上單調遞減，在[1，]上單調遞增,

所以，又，，

，又，所以，

所以，，

所以，當，時，恒成立時實數的取值范圍是[．（13分）

備注：解答題的其它解法可相應給分。

考點：應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，導數的幾何意義.