【題目】在四棱錐
中，側面
底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，
，
，
，
，E，F分別為AD，PC的中點．
Ⅰ
求證：
平面BEF；
Ⅱ若
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)見解析;(2) 
.
【解析】
（1）連接
交
于
，并連接
，
，由空間幾何關系可證得
，利用線面平行的判斷定理可得
平面
.
（2）（法一）取
中點
，連
，
，
，由二面角的定義結合幾何體的特征可知
為二面角
的平面角,計算可得二面角的余弦值為
.
（法二）以
為原點，
、
、
分別為
、
、
建立直角坐標系，則平面
法向量可取：
,平面
的法向量
,由空間向量的結論計算可得二面角的余弦值為.
（1）連接交于，并連接，，
，
，為
中點， 
，且
，
四邊形
為平行四邊形， 為中點，又
為
中點，
， 
平面，
平面，
平面.
（2）（法一）由
為正方形可得
， 
.
取中點，連，，，
側面
底面
，且交于， ，
面，又
，
為二面角的平面角,
又
，
，
，
，所以二面角的余弦值為.
（法二）由題意可知
面， ，如圖所示，以為原點，、、分別為、、建立直角坐標系，則
，
，
，
.
平面法向量可取：,
平面中，設法向量為
，則
,
取,
，所以二面角的余弦值為.
小學期末標準試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司利用
線上、實體店線下銷售產品
，產品在上市
天內全部售完.據統計，線上日銷售量
、線下日銷售量
（單位：件）與上市時間
天的關系滿足：
，產品每件的銷售利潤為
(單位：元)（日銷售量
線上日銷售量
線下日銷售量）.
（1）設該公司產品的日銷售利潤為
，寫出的函數解析式；
（2）產品上市的哪幾天給該公司帶來的日銷售利潤不低于
元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】用符號“
”或“
”填空：
（1）設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國______________A，美國__________A，印度____________A，英國_____________A；
（2）若
，則-1_____________A；
（3）若
，則3________________B；
（4）若
，則8_______________C，9.1____________C.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了解學生對食堂伙食的滿意程度，組織學生給食堂打分（分數為整數，滿分100分），從中隨機抽取一個容量為
的樣本，發現所有數據均在
內．現將這些分數分成以下
組：
，
，
，
，
，
，并畫出了樣本的頻率分布直方圖，部分圖形如圖所示．觀察圖形，回答下列問題：
（1）算出第三組的頻數，并補全頻率分布直方圖；
（2）請根據頻率分布直方圖，估計樣本的眾數和平均數，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市理論預測2014年到2018年人口總數
（單位：十萬）與年份（用
表示）的關系如表所示：
（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于
的回歸方程
；
（3）據此估計2019年該城市人口總數．
（參考數據： 
）
參考公式：線性回歸方程為，其中
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在R上的函數f（x）滿足：如果對任意的x1，x2∈R，都有f（
）
，則稱函數f（x）是R上的凹函數，已知二次函數f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）
（1）當a＝1，x∈[﹣2，2]時，求函數f（x）的值域；
（2）當a＝1時，試判斷函數f（x）是否為凹函數，并說明理由；
（3）如果函數f（x）對任意的x∈[0，1]時，都有|f（x）|≤1，試求實數a的范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
，（其中
， 
為自然對數的底數， 
……）.
（1）令
，若
對任意的
恒成立，求實數
的值；
（2）在（1）的條件下，設
為整數，且對于任意正整數
， 
，求
的最小值.
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