Question

【題目】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：如果對(duì)任意的x1，x2∈R，都有f（），則稱函數(shù)f（x）是R上的凹函數(shù)，已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）

（1）當(dāng)a＝1，x∈[﹣2，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）是否為凹函數(shù)，并說明理由；

（3）如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈[0，1]時(shí)，都有|f（x）|≤1，試求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）凹函數(shù)；見解析（3）[﹣2，0]．

【解析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解即可.

(2)根據(jù)凹函數(shù)的定義求解的正負(fù)判斷即可.

(3)分情況去絕對(duì)值,再參變分離求解范圍即可.

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，，

由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域?yàn)?/span>；

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f（x）是凹函數(shù)，此時(shí)f（x）＝x2+x，

，，

作差得到：

，

即有f（），故函數(shù)f（x）＝x2+x是凹函數(shù)；

（3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，則有，即，

（i）當(dāng)x＝0時(shí)，則a∈R恒成立；

（ii）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，有，即，

又x∈（0，1]，則，

∴當(dāng)時(shí)，，，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣2，0]．