Question

（2012•綏化模擬）已知函數f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g（x）=x²．
（1）若a=

1

2

，時，直線l與函數f（x）和函數g（x）的圖象相切于同一點，求切線l的方程
（2）若f（x）在[2，4]內為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關于切點的橫坐標x的方程，求出切點的坐標，根據得出的切點坐標，同時由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可．
（2）通過解f′（x），求其單調區間，轉化為恒成立問題求a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=

1

2

時，由題意可得，f′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）+

2

x

=

x2+4x-1

2x2

，g′（x）=2x，
又直線L與函數f（x），g（x）的圖象相切于同一點，
∴

x2+4x-1

2x2

=2x，（4分）
解得x=1，x=

1

4

，（x=-1舍去），
此時，f（1）=g（1）=1，而f（

1

4

）=

17

8

+2ln

1

4

≠g（

1

4

）=

1

16

，切線的斜率k=2
∴切點為（1，1），則切線L的方程為：y=2x-1．（6分）
（2）∵f′（x）=a（1-

1

x2

）+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，
要使f（x）在[2，4]為單調增函數，須f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
a（x²-1）≥-2x，即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4），（8分）
設u（x）=

1

x

-x（2≤x≤4），因為u′（x）=-

1

x2

-1＜0，所以u（x）在[2，4]上單調遞減．
∴-

8

15

≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

≥-

4

3

，
所以當a≥-

8

15

時，f（x）在[2，4]為單調增函數；（10分）
同理要使f（x）為單調減函數，須f′（x）≤0在[2，4]恒成立，易得a≤-

4

3

，
綜上，若f（x）在[2，4]為單調函數，則a的取值范圍是（-∞，-

4

3

]或[-

8

15

，+∞）．（12分）

點評：對于已知函數單調性，求參數范圍問題的常見解法；設函數f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數，則可得f′（x）≥0，從而建立了關于待求參數的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數，，則可得f′（x）≤0．