Question

（2012•綏化模擬）已知{a_n}前n項和為S_n，且S_n=1-a_n（n∈N*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=

n

an

（n∈N^*（5））求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可得a_n與a_n-1的關系，結合等比數列的通項可求
（2）結合數列的特點，考慮利用錯位相減可求數列的和

解答：解（1）當n=1時，a₁=1-a₁，
∴a₁=

1

2

，（2分）
∵S_n=1-a_n，①
∴S_n+1=1-a_n+1，②
②-①得 a_n+1=-a_n+1+a_n，
∴a_n+1=

1

2

a_n（n∈N*），（4分）
∴數列{a_n}是首項為a₁=

1

2

，公比q=

1

2

的等比數列，
∴a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（2）b_n=

n

an

=n•2ⁿ（n∈N^*），（7分）
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，③
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，④（9分）
③-④得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，
整理得  T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*．（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，解題的關鍵是利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

實現數列的和與項之間的相互轉化，而一個數列的通項為a_nb_n，且a_n，b_n一個為等差數列，一個為等比數列時，求和用錯位相減