Question

已知直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圓C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，則m∈R值時，l與C是否必相交？若相交，求出相交的弦長的最小值及此時m的值；若不一定相交，則舉一反例．

Answer 1

答案：
解析：

解：將直線方程變形為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0， 　　則由 　　故直線l過定點(3，1)．而＜5，則點(3，1)在圓的內部，所以直線l與圓C恒相交．又圓心(1，2)和定點(3，1)的連線l1的斜率k＝－，所以當l1與l垂直時，其弦長最短，此時直線l的斜率為＝2，得m＝，故當m＝時，弦長最短，最短弦長＝．

提示：

考查直線過定點的問題和直線與圓的位置關系．當直線的系數中含有參數時，直線必過定點．而當直線過圓內一定點時，直線一定與圓相交．在過圓內一定點的所有弦中，與定點和圓心連線垂直的弦的弦長最短；過定點和圓心的弦最長．