Question

【題目】已知動點滿足：

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設是軌跡上的兩個動點，線段的中點在直線上，線段的中垂線與交于兩點，是否存在點，使以為直徑的圓經過點，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（1）利用橢圓定義即可得到動點的軌跡的方程。

（2）討論直線存在和不存在，當斜率存在時，設存在點直線的斜率為，運用點差法可得，得到的直線方程為，然后聯(lián)立直線與橢圓方程求解。

詳解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）當直線垂直于軸時，直線方程為，

此時，，不合題意；

當直線不垂直于軸時，設存在點，直線的斜率為，

由得：，則

故，此時，直線斜率為，的直線方程為

即

聯(lián)立消去，整理得：

所以

由題意，于是

，因為在橢圓內，，符合條件；

綜上：存在兩點符合條件，坐標為.