Question

在二項式（1+x）ⁿ（n＞1，n∈N^*）的展開式中，含x²項的系數記為a_n，則

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)的值為

2

．

Answer 1

分析：由二項式（1+x）ⁿ（n＞1，n∈N^*）的展開式的通項為：T_r+1=C_n^rx^r可得，an=

C

2 n

=

1

2

n(n-1)，則

1

an

=

2

n(n-1)

=

2

n-1

-

2

n

，利用裂項求和，然后求解數列的極限即可

解答：解：二項式（1+x）ⁿ（n＞1，n∈N^*）的展開式的通項為：T_r+1=C_n^rx^r
令r=2可得，an=

C

2 n

=

1

2

n(n-1)
∴

1

an

=

2

n(n-1)

=

2

n-1

-

2

n

∴

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

(

2

1

-

2

2

+

2

2

-

2

3

+…+

2

n-1

-

2

n

)
=

lim

n→∞

(2-

2

n

)=2

點評：本題主要考查了二項展開式的通項的應用，裂項求解數列的和及數列極限的求解，屬于中檔試題