Question

已知橢圓兩焦點F₁、F₂在y軸上，短軸長為，離心率為，P是橢圓在第一象限弧上一點，且，過P作關于直線F₁P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．
（1）求P點坐標；
（2）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，根據題意可知b，進而根據離心率和a，b和c的關系求得a和c，則橢圓的方程可得．進而求得焦點的坐標，設出點P的坐標，分別表示出和，進而根據求得x和y的關系式，把點P的坐標代入橢圓方程求和另一個關系式，聯立方程求得x和y即P的坐標．
（2）根據（1）可知PF₁∥x軸，設PB的斜率為k，根據點斜式表示出直線的方程，與橢圓的方程聯立消去y，設出B的坐標，根據題意可求得x_B的表達式，同理求得x_A的表達式，進而可知x_A-x_B的表達式，根據直線方程求得y_A-y_B，進而根據斜率公式求得直線AB的斜率，結果為定值．
解答：解：（1）設橢圓的方程為+=1，由題意可得b=，
=，即a=c，
∵a²-c²=2
∴c=，a=2
∴橢圓方程為+=1
∴焦點坐標為（0，），（0，-），設p（x，y）（x＞0，y＞0）
則=（-x，-y），=（-x，--y），
∴•=x²-（2-y²）=1
∵點P在曲線上，則+=1
∴x²=，
從而-（2-y²）=1，得y=，則點P的坐標為（1，）

（2）由（1）知PF₁∥x軸，直線PA，PB斜率互為相反數，設PB的斜率為k（k＞0），
則PB的直線方程為y-=k（x-1），由得
（2+k²）x²+2k（-k）x+（-k²）-4=0
設B（x_B，y_B），則x_B=-1=，
同理可得，則，
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=
所以AB的斜率k_AB==為定值．
點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系，橢圓的標準方程．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．