Question

一條直線l被兩條直線：4x＋3y＋6=0和3x－5y－6=0截得的線段中心恰好是坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

答案：x+6y=0
解析：

解法1：當直線的斜率存在時由題意知，直線l過原點，則設直線l的方程為y=kx． 由 由 ∵點(0，0)是上述兩個點的中點， ∴ 解可得． ∴所求直線的方程為，即為x＋6y=0． 當直線的斜率不存在時，直線即為y軸，而y軸和兩條已知直線的交點分別為(0，－6)和，顯然不滿足中點為原點的要求． 綜上可知所求直線的方程為x＋6y=0． 解法2：依題意知l過原點，當直線的斜率存在時可設l的方程為y=kx． 設l與兩已知直線的交點分別為，， 則解得 又根據中點坐標公式有解得． 因為當k不存在時，l即為軸，而y軸和兩已知直線的交點分別為(0，6)和，顯然不滿足中點是原點的要求．因此所求直線方程為，即x＋6y=0． 解法3：設所求直線l與直線4x＋y＋6=0，以及3x－5y－6=0的交點分別為A、B，且A()， ∵線段AB中點為坐標原點(0，0)，則點B坐標為B． 又由點A、B分別在已知直線上， ∴ ∴ 又∵直線l過原點， ∴直線l斜率， 直線l方程為．

提示：

方法1：由于所求直線被兩條已知直線截得線段的中點為坐標原點，即所求的直線經過坐標原點，因此所求的直線方程可以設為． 方法2：由于直線l與兩已知直線交點所得線段中點恰為坐標原點，因此，可設一個交點坐標為，根據中點坐標公式，表示出一個定點坐標，再由兩交點分別在兩已知直線上，可列出關于的方程組，求出即可．再根據所求直線過原點，可得直線l的方程．