Question

一條直線l被兩條直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點恰好是坐標原點,求直線l的方程.

Answer 1

思路分析:設直線l的方程為y=kx,與已知的兩直線的交點設為P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂),把x₁、x₂用k表示,由x₁+x₂=0,解出k的值即可.

解法一:當直線l的斜率k存在時,設l的方程為y=kx,且l與已知兩直線的交點分別為P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂),

則

因為O是P₁P₂的中點,所以x₁+x₂=0,

即=0,解得k=.

當斜率k不存在時,直線l是y軸,它和兩條已知直線的交點分別是(0,-6)和(0,),顯然不滿足中點是原點的條件.

所以所求的直線方程為y=x.

解法二:設過原點的直線l交已知兩直線分別于點P₁、P₂,且O為P₁、P₂的中點,

所以P₁與P₂關于原點對稱.

若設P₁(x₀,y₀),則P₂(-x₀,-y₀),

所以

（1）+（2 ）得x₀+6y₀=0.

所以點P₁(x₀,y₀)、P₂(-x₀,-y₀)都滿足方程x+6y=0.

因為過兩點的直線有且只有一條,且該直線過原點,

所以所求直線l的方程即為y=x.

  綠色通道:與兩直線交點有關的直線方程問題,用一般式較其他形式方便,另外注意解析幾何中與交點有關的問題,常采用設點而不求點的方法,設而不求是解析幾何中常用的方法.