Question

已知向

a

=(sin(x+

π

6

)，

3

cos(x+

π

6

))，

b

=(sin(x+

π

6

)，sin(x+

π

6

))，記f(x)=

a

•

b

，在銳角三角形ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若f（C）=1
（1）求C的大小；
（2）若c=

7

，三角形ABC的面積為

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的數量積，求出f（x）的表達式，結合二倍角公式，兩角和的正弦函數，把f（x）化簡為一個角的一個三角函數的形式，利用f（C）=1以及C的范圍，即可求C的大小；
（2）通過c=

7

，三角形ABC的面積為

3 3

2

，求出ab的值，利用余弦定理求出a²+b²-ab=7，利用平方法直接求a+b的值．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=sin2(x+

π

6

)+

3

sin(x+

π

6

)cos(x+

π

6

)
=

1-cos(2x+ π 3 )

2

+

3

2

sin(2x+

π

3

)
=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
f(C)=sin(2C+

π

6

)+

1

2

=1，
sin(2C+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜C＜π
∴2C+

π

6

=

5π

6

∴C=

π

3

（2）∵S△ABC=

1

2

absinC=

3 3

2

，
∴ab=6，
又∵a²+b²-2abcosC=c²，
得a²+b²-ab=7，
故a+b=

a2+2ab+b2

=

a2-ab+b2+3ab

=

7+18

=5．
所以a+b=5．

點評：本題是中檔題，考查向量數量積的應用，二倍角公式與兩角和的正弦函數，三角形的面積余弦定理的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．