Question

已知函數=,x∈［0,1］.

       (1)求的單調區間和值域;

       (2)設a≥1,函數g(x)=x³-3a²x-2a,x∈［0,1］,若對于任意x₁∈［0,1］,總存在x₀∈［0,1］,使得g(x₀)=f(x₁)成立,求a的取值范圍.

      

Answer 1

解析：(1)對函數求導,得?

       =?

       令=0，解得x=或x=.?

       當x變化時,f′(x)、的變化情況如下表:

所以,當x∈(0, )時, 是減函數;當x∈(,1)時, 是增函數.?

       當x∈［0,1］時, 的值域為［-4,-3］.?

       (2)對函數g(x)求導,得g′(x)=3(x²-a²).?

       因為a≥1,當x∈(0,1)時,g′(x)＜3(1-a²)≤0,?

       即當x∈(0,1)時,g(x)為減函數,從而當x∈［0,1］時有g(x)∈［g(1),g(0)］.?

       又g(1)=1-2a-3a²,g(0)=-2a,即當x∈［0,1］時有g(x)∈［1-2a-3a²,-2a］.?

       任給x₁∈［0,1］,f(x₁)∈［-4,-3］,存在x₀∈［0,1］使得g(x₀)=f(x₁),則［1-2a-3a²,-2a］［-4,-3］,?

       即?

       解①式得a≥1或a≤-;?

       解②式得a≤.?

       又a≥1,故a的取值范圍為1≤a≤.