Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC，，G，H分別為FA，FD的中點

(Ⅰ)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；

(Ⅱ)C，D，F，E四點是否共面？為什么？

(Ⅲ)設AB＝BE，證明：平面ADE⊥平面CDE；

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)由題意知， 　　所以 　　又，故 　　所以四邊形是平行四邊形． 　　(Ⅱ)四點共面．理由如下： 　　由，是的中點知，，所以 　　由(Ⅰ)知，所以，故共面．又點在直線上 　　所以四點共面． 　　(Ⅲ)連結，由，及知是正方形 　　故．由題設知兩兩垂直，故平面， 　　因此是在平面內的射影，根據三垂線定理， 　　又，所以平面 　　由(Ⅰ)知，所以平面． 　　由(Ⅱ)知平面，故平面，得平面平面 　　解法二： 　　由平面平面，，得平面，以為坐標原點，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系 　　(Ⅰ)設，則由題設得 　　 　　所以 　　于是 　　又點不在直線上 　　所以四邊形是平行四邊形． 　　(Ⅱ)四點共面．理由如下： 　　由題設知，所以 　　 　　又，故四點共面． 　　(Ⅲ)由得，所以 　　又，因此 　　即 　　又，所以平面 　　故由平面，得平面平面