Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

∥

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1

2

AD，BE

∥

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1

2

AF，G，H分別為FA，FD的中點
（Ⅰ）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
（Ⅱ）C，D，F，E四點是否共面？為什么？
（Ⅲ）設AB=BE，證明：平面ADE⊥平面CDE．

Answer 1

分析：解法1：（Ⅰ）直接證明GH

∥

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BC推出四邊形BCHG是平行四邊形．
（Ⅱ）C，D，F，E四點共面．推出EF∥CH，就是EC，FH共面．又點D在直線FH上所以C，D，F，E四點共面．
（Ⅲ）連接EC，證明BG⊥EA．BG⊥ED，ED∩EA=E，推出BG⊥平面ADE，然后證明平面ADE⊥平面CDE．
解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A為坐標原點，射線AB為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A-xyz
（Ⅰ）通過

HG

=

BC

，又點G不在直線BC上，說明四邊形BCHG是平行四邊形．
（Ⅱ）C，D，F，E四點共面．利用

EF

=(-a，0．c)，

CH

=(-a，0．c)，

EF

=

CH

，又C∉EF，H∈FD，證明C，D，E，F四點共面．
（Ⅲ）通過

CH

•

AE

=0，

CH

•

AD

=0，即CH⊥AE，CH⊥AD，說明平面ADE⊥平面CDE

解答：解法1：（Ⅰ）由題意知，FG=GA，FH=HD
所以GH

∥

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1

2

AD
又BC

∥

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1

2

AD，故GH

∥

.

BC
所以四邊形BCHG是平行四邊形．

（Ⅱ）C，D，F，E四點共面．理由如下：
由BE

∥

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1

2

AF，G是FA的中點知，BE

∥

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GF，所以EF∥BG
由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又點D在直線FH上
所以C，D，F，E四點共面．
（Ⅲ）連接EG，由AB=BE，BE

∥

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AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形
故BG⊥EA．由題設知FA，AD，AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE，
因此EA是ED在平面FABE內的射影，根據三垂線定理，BG⊥ED
又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE
由（Ⅰ）知CH∥BG，所以CH⊥平面ADE．
由（Ⅱ）知F∈平面CDE，故CH?平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE

解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，
以A為坐標原點，射線AB為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A-xyz
（Ⅰ）設AB=a，BC=b，BE=c，則由題設得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，2b，0），E（a，0，c），G（0，0，c），H（0，b，c）
所以

HG

=(0，-b，0)，

BC

=(0，b，0)
于是

HG

=-

BC

又點G不在直線BC上
所以四邊形BCHG是平行四邊形．
（Ⅱ）C，D，F，E四點共面．理由如下：
由題設知F（0，0，2c），所以

EF

=(-a，0．c)，

CH

=(-a，0．c)，

EF

=

CH

又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四點共面．
（Ⅲ）由AB=BE得，所以

CH

=(-a，0，a)，

AE

=(a，0，a)
又

AD

=(0，2b，0)，因此

CH

•

AE

=0，

CH

•

AD

=0
即CH⊥AE，CH⊥AD
又AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE
故由CH?平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE

點評：此題重點考查立體幾何中直線與直線的位置關系，四點共面問題，面面垂直問題，考查了空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力；熟悉幾何公理化體系，準確推理，注意邏輯性是順利進行解法1的關鍵；在解法2中，準確的建系，確定點坐標，熟悉向量的坐標表示，熟悉空間向量的計算在幾何位置的證明，在有關線段，角的計算中的計算方法是解題的關鍵．