Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

∥ =

1

2

AD，BE

∥

.

1

2

AF．
（1）求證：C、D、F、E四點共面；
（2）設AB=BE，求證：平面ADE⊥平面DCE；
（3）設AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標原點，射線AB為x軸正半軸，建立如圖的直角坐標系A-xyz，設AB=a，BC=b，BE=c，通過向量法可證得EC∥FD，即C、D、E、F共面
（2）求出平面ADE的法向量和平面DCE的法向量，利用向量垂直的充要條件可得兩個法向量垂直，進而平面ADE⊥平面DCE；
（3）求出平面ADE的法向量為

m

=（1，0，-1），和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式可得二面角A-ED-B的余弦值

解答：解：由平面平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A為坐標原點，射線AB為x軸正半軸，建立如圖的直角坐標系A-xyz，…（1分）

證明：（1）設AB=a，BC=b，BE=c，
則B（a，0，0），C（a，b，0），E（a，0，c），D（0，2b，0），F（0，0，2c），…（3分）
∴

EC

=（0，b，-c），

FD

=（0，2b，-2c），
故

EC

=

1

2

FD

，
∴EC∥FD，
∴C、D、E、F共面．…（5分）
解：（2）∵AB=BE，由（1）可知E（a，0，a），
∴

AE

=（a，0，a），

AD

=（0，2b，0），
設

m

=（x，y，z）為平面ADE的法向量，則

ax+az=0 2by=0

，∴

m

=（1，0，-1），…（7分）
設

n

=（x，y，z）為平面DCE的法向量，則由

EC

=（0，b，-a），

CD

=（-a，b，0），
∴

bx-az=0 -ax+by=0

，∴

n

=（1.

a

b

，1），…（9分）
∵

m

•

n

=0，
∴

m

⊥

n

，
∴平面ADE⊥平面DCE；
（3）當AB=BC=BE時，由（2）可知平面ADE的法向量為

m

=（1，0，-1），
設平面BDE的法向量為

u

=（x，y，z），
由

BE

=（0，0，a），

BD

=（-a，2a，0）得

az=0 -ax+2ay=0

，
∴

u

=（2，1，0），
∴cos＜

m

，

u

＞=

m • u

| m |•| u |

=

2

2 • 5

=

10

5

，
∴二面角A-ED-B的余弦值為

10

5

．…（16分）

點評：本題考查的知識點是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標系將空間線線垂直及二面角轉化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關鍵．