Question

已知函數f（x）=（x+1）²
（1）當1≤x≤m時，為等式f（x-3）≤x恒成立，求實數m的最大值；
（2）在曲線y=f（x+t）上存在兩點關于直線y=x對稱，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線y=x與曲線y=f（x-3）方程聯立求得交點坐標，根據y=f（x-3）在區間[1，4]上圖象在直線y=x的下面，判斷出f（x-3）≤x恒成立，所以m的最大值為4進而求得m的最大值．
（2）設曲線上關于直線y=x的對稱點線段AB的中點M的坐標以及直線AB的方程與f（x+t）聯立利用韋達定理表示出x₁+x₂進而可表示出x₀利用直線方程表示出y₀代入直線y=x求得b和t的關系，利用t和b的不等式關系求得t的范圍．

解答：解：（1）直線y=x與曲線y=f（x-3）的交點可由

y=x y=(x-2)2

?x²-5x+4=0
求得交點為（1，1）和（4，4），
此時y=f（x-3）在區間[1，4]上圖象在直線y=x的下面，
即f（x-3）≤x恒成立，所以m的最大值為4．
（2）設曲線上關于直線y=x的對稱點為A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
線段AB的中點M（x₀，y₀），直線AB的方程為：y=-x+b．

y=(x+1+t)2 y=-x+b

?x²+（2t+3）x+（t+1）²-b=0
△=（2t+3）²-4[（t+1）²-b]=4t+5+4b＞0（1）
x₁+x₂=-2t-3，x₀=-

2t+3

2

，
y₀=-x₀+b=

2t+3

2

+b
又因為AB中點在直線y=x上，所以y₀=x₀
即-

2t+3

2

=

2t+3

2

+b
得b=-2t-3，代入（1）式4t+5+4b＞0，得t＜-

7

4

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系．考查了學生分析問題和函數思想的運用．