Question

已知函數f(x)=

eax

x-1

．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函數解析式，求出函數在x=0時的函數值f（0），求出f^′（0），利用直線方程的點斜式可得曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）求出原函數的導函數，分a=0，a＜0，a＞0三種情況分析導函數在定義域內的符號，當a=0時，導函數在定義域內恒小于0，所以原函數在定義域內的兩個區間內單調遞減，當a≠0時，求出導函數的零點由零點把定義域分段，判斷導函數在各段內的符號，從而得到原函數的單調區間．

解答：解：當a=1時，f(x)=

ex

x-1

，則f′(x)=

ex(x-2)

(x-1)2

．
又f（0）=

e0

0-1

=-1，f′(0)=

e0(0-2)

(0-1)2

=-2，
所以f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函數f(x)=

eax

x-1

，得：f′(x)=

eax[ax-(a+1)]

(x-1)2

．
當a=0時，f′(x)=

-1

(x-1)2

＜0，
又函數的定義域為{x|x≠1}，
所以 f（x）的單調遞減區間為（-∞，1），（1，+∞）．
當a≠0時，令f^′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得x=

a+1

a

，
當a＞0時，x=

a+1

a

＞1，
所以f^′（x），f（x）隨x的變化情況如下表

x	（-∞，1）	1	(1， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，+∞)
f′（x）	-	無定義	-	0	+
f（x）	減函數		減函數	極小值	增函數

所以f（x）的單調遞減區間為（-∞，1），（1，

a+1

a

），
單調遞增區間為(

a+1

a

，+∞)，
當a＜0時，x=

a+1

a

＜1，
所以所以f^′（x），f（x）隨x的變化情況如下表

x	(-∞， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	無定義	-
f（x）	增函數	極大值	減函數		減函數

所以f（x）的單調遞增區間為(-∞，

a+1

a

)，
單調遞減區間為(

a+1

a

，1)，（1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數求曲線上的某點的切線方程，考查了利用函數的導函數研究函數的單調性，解答此題時，最后下結論的時候學生容易出錯，誤把函數的減區間取并集．此題是中檔題．