【題目】如圖，直線
與橢圓
交于
兩點，
是橢圓右頂點，已知直線
的斜率為
，
的外接圓半徑為
.
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓上有兩點
，使
的平分線垂直
，且
，求直線
的方程.
【答案】(1)
；(2)
或
.
【解析】
(1)設
，
，根據直線
的斜率為
，可得
，再利用
，即可得
是直角三角形，從而可求出
的長，再結合
，可求出
的長，進而求出
及點
的坐標，將的坐標代入橢圓的方程即可求出
；
(2) 由(1)知
，由
的平分線垂直
知直線
與
關于
對稱，因此可設的斜率為
，則
的斜率為
，將直線分別與橢圓聯立方程組，利用兩根之積，求出
的坐標，從而可求出直線的斜率，再利用弦長公式求出
即可求出，進而求出直線的方程.
(1)連結，設，，所以直線的斜率
，所以，
所以
，由橢圓的對稱性可知
，所以
，
所以，所以
，所以是直角三角形，
故的外接圓半徑
，所以
，
因為直線
的方程為
，所以直線的傾斜角，
所以
，所以在
中，
，所以
，
所以
，所以，代入橢圓的方程可得
，
所以
，故橢圓方程為.
(2)由(1)知，由的平分線垂直知直線與關于對稱，
設的斜率為，則的斜率為，
，
與橢圓聯立得
，
所以
，又
，所以
，
所以
所以
，同理得
，
所以
，
由弦長公式得
，解得
或
不妨設
在
的左側，
當時，
，
；
當
時，
，
.
綜上所述，
或.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率．先由計算器給出0到9之間取整數的隨機數，指定0，1，2，3表示沒有擊中目標，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組如下的隨機數：
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根據以上數據估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是一個半徑為2千米，圓心角為
的扇形游覽區的平面示意圖
是半徑
上一點，
是圓弧
上一點，且
.現在線段
，線段
及圓弧
三段所示位置設立廣告位，經測算廣告位出租收入是：線段處每千米為
元，線段及圓弧處每千米均為
元．設
弧度，廣告位出租的總收入為
元．
(1)求關于
的函數解析式，并指出該函數的定義域；
(2)試問：為何值時，廣告位出租的總收入最大？并求出其最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】三棱錐
中，點P是
斜邊AB上一點．給出下列四個命題：
①若
平面ABC，則三棱錐的四個面都是直角三角形；
②若S在平面ABC上的射影是斜邊AB的中點P，則有
；
③若
，
，
，
平面ABC，則
面積的最小值為3；
④若
，
，，平面ABC，則三棱錐的外接球體積為
．
其中正確命題的序號是__________．(把你認為正確命題的序號都填上)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列五個命題：
①函數
在區間
上存在零點；
②要得到函數
的圖象，只需將函數
的圖象向左平移
個單位；
③若
，則函數
的值城為
；
④“
”是“函數
在定義域上是奇函數”的充分不必要條件；
⑤已知
為等差數列，若
，且它的前
項和
有最大值，那么當取得最小正值時，
.
其中正確命題的序號是________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為保障食品安全，某地食品藥監管部門對轄區內甲、乙兩家食品企業進行檢查，分別從這兩家企業生產的某種同類產品中隨機抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項關鍵質量指標值為檢測依據．已知該質量指標值對應的產品等級如下：
質量指標值 | [15，20） | [20，25） | [25，30） | [30，35） | [35，40） | [40，45] |
等級 | 次品 | 二等品 | 一等品 | 二等品 | 三等品 | 次品 |
根據質量指標值的分組，統計得到了甲企業的樣本頻率分布直方圖和乙企業的樣本頻數分布表（如下面表，其中a＞0）．
質量指標值 | 頻數 |
[15，20） | 2 |
[20，25） | 18 |
[25，30） | 48 |
[30，35） | 14 |
[35，40） | 16 |
[40，45] | 2 |
合計 | 100 |
（Ⅰ）現從甲企業生產的產品中任取一件，試估計該件產品為次品的概率；
（Ⅱ）為守法經營、提高利潤，乙企業開展次品生產原因調查活動．已知乙企業從樣本里的次品中隨機抽取了兩件進行分析，求這兩件次品中恰有一件指標值屬于[40，45]的產品的概率；
（Ⅲ）根據圖表數據，請自定標準，對甲、乙兩企業食品質量的優劣情況進行比較．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給定數列
，若滿足
（
且
），對于任意的
，都有
，則稱數列為“指數型數列”．
（1）已知數列的通項公式為
，試判斷數列是不是“指數型數列”；
（2）已知數列滿足
，
，證明數列
為等比數列，并判斷數列是否為“指數型數列”，若是給出證明，若不是說明理由；
（3）若數列是“指數型數列”，且
，證明數列中任意三項都不能構成等差數列．
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