Question

已知兩圓C₁：x²+y²-6y=0，C₂：（x-2

3

）²+（y-1）²=1．
（1）求證：兩圓外切且x軸是它們的一條公切線；
（2）求切點的兩弧與x軸所圍成圖形的面積．

Answer 1

考點：兩圓的公切線條數及方程的確定,圓的切線方程

專題：計算題,作圖題,證明題,直線與圓

分析：（1）由題意確定兩個圓的圓心與半徑，從而求圓心距與圓心到x軸的距離，確定位置關系；
（2）作出圖輔助，求兩個扇形的角，再求面積．

解答：解：（1）證明：x²+y²-6y=0可化為x²+（y-3）²=9，
則兩圓的圓心與半徑分別為（0，3），3；（2

3

，1），1；
則兩圓心的距離為d=

(2 3 )2+(3-1)2

=4，而半徑和為3+1=4，
故兩圓外切，
又∵（0，3）到x軸的距離為半徑3，（2

3

，1）到x軸的距離為半徑1；
∴x軸是它們的一條公切線．
（2）如右圖：
∵兩圓心連線的斜率為k=

1-3

2 3

=-

3

3

，
故兩圓心連線的傾斜角為

5π

6

，
則兩個扇形的面積之和為

1

2

•3²•

π

3

+

1

2

•1²•

2π

3

=

11π

6

，
梯形的面積為

1

2

（1+3）×2

3

=4

3

，
則切點的兩弧與x軸所圍成圖形的面積為4

3

-

11π

6

．

點評：本題考查了圓與直線的位置關系，同時考查了學生的作圖能力，屬于基礎題．