Question

已知函數f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若方程f（x）=m恰有兩個不等的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0，可求得f（0）的值，求導，令f′（0）=-2，解方程組可求得b，c的值；（2）令導函數f′（x）=[0，求解，分析導函數的符號，可知函數的單調區間；（3）方程f（x）=m恰有兩個不等的實根，轉化為求函數的極值和單調性，從而可知函數圖象的變化情況，可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]•e^x
∵f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
∴
（2）由（1）知：f（x）=（x²-3x+1）•e^x，f′（x）=（x²-x-2）•e^x=（x-2）（x+1）•e^x

∴f（x）的單調遞增區間是：（-∞，-1）和（2，+∞）f（x）的單調遞減區間是：（-1，2）
（3）由（2）知：，f（x）_min=f（2）=-e²
但當x→+∞時，f（x）→+∞；又當x＜0時，f（x）＞0，
則當且僅當時，方程f（x）=m恰有兩個不等的實根．
點評：考查函數導數的幾何意義和利用導數研究函數的極值和利用導數研究函數的單調性，以及方程根的個數問題，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法和數形結合的思想方法，屬中檔題．