Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD：
①求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
②求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標系求出相關向量，
（1）利用共面向量定理：，證明BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD，①求出=（0，2a，-2a）和=（a，2a，0）的數量積來求異面直線PD與BC所成角的余弦值；②求平面BDE的一個法向量為=（2，1，-1）；平面BDC的一個法向量為=（0，0，1）；然后求向量的數量積來求二面角E-BD-C的余弦值．
解答：解：設AB=a，PA=b，建立如圖的空間坐標系，
A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），
C（（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，）．
（1）=（0，a，），=（0，2a，0），=（0，0，b），
所以，BE∉平面PAD，∴BE∥平面PAD；

（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即=0
=（2a，2a，-b），∴==0，即b=2a．
①=（0，2a，-2a），=（a，2a，0），
cos＜，＞==，
所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為；
②平面BDE和平面BDC中，=（0，a，a），
=（-a，2a，0），=（a，2a，0），
所以平面BDE的一個法向量為=（2，1，-1）；
平面BDC的一個法向量為=（0，0，1）；
cos＜，＞=，所以二面角E-BD-C的余弦值為．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，考查轉化思想，計算能力，是中檔題．