Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，若直線是函數的圖象的切線，求的最小值；

（2）設函數，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，在上存在極值，且極值都為正數．

【解析】

(1) 設切點坐標為,求得切線的方程,由直線是函數的圖象的切線,得到,,求得,利用導數即可求得的最小值.

(2)求出的導數,令,若在上存在極值,則或，分類討論,分別構造新函數,根據導數與函數的關系,即可求得的取值范圍.

（1）設切點坐標為，

，

切線斜率，又，

，

令，

，

解得，解得，在上遞減，在上遞增.

，的最小值為.

（2），.

.

設，則.

由，得.

當時，，當時，.

在上單調遞增，在上單調遞減.

且，，.

顯然.

結合函數圖象可知，若在上存在極值，

則或

（ⅰ）當，即時，

則必定，，使得，且.

當變化時，，，的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當時，在上的極值為，，且.

.

設，其中，.

，在上單調遞增，，當且僅當時取等號.

，.

∴當時，在上的極值.

（ⅱ）當，即時，

則必定，使得.

易知在上單調遞增，在上單調遞減.

此時，在上的極大值是，且.

∴當時，在上的極值為正數.

綜上所述：當時，在上存在極值，且極值都為正數．

注：也可由，得．令后再研究在上的極值問題．若只求的范圍.