Question

(12分)  如圖8－12，球面上有四個點P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積。

Answer 1

解 如圖8－12，設過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐P—ABC中，
∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內的射影即是△ABC的中心O′。
由正弦定理，得 =2r,∴r=a。
又根據球的截面的性質，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，
∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，
∴OO′="R" － a=d=,(R－a)²=R² – (a)²，解得R=a,
∴S_球=4πR²=3πa²。

略