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如圖,長方體ABCD-A1
B
 
1
C1D1
中,AD=AA1=1,AB=2,點E是AB的中點.
(1)證明:BD1∥平面A1DE
(2)證明:D1E⊥A1D
(3)求二面角D1-EC-D的正切值.
分析:(1)連結AD1交A1D于O,連結EO,由三角形中位線定理,可得OE∥BD1,進而可由線面平行的判定定理,可得BD1∥平面A1DE
(2)根據正方形的幾何特征,可得A1D⊥AD1,由AB⊥平面ADD1A1結合線面垂直的性質可得AB⊥AD1,進而由線面垂直的判定定理可得A1D⊥平面AD1E,再由線面垂直的性質可得D1E⊥A1D
(3)由勾股定理可得CE⊥DE,進而由線面垂直的性質可得CE⊥D1D,由線面垂直的判定定理得到CE⊥平面D1DE,結合D1E⊥平面D1DE,可得∠D1ED是二面角D1-ED-D的一個平面角.解三角形△D1ED可得二面角D1-ED-D的正切值.
解答:證明:(1)連結AD1交A1D于O,連結EO,
則O為AD1的中點,又因為E是AB的中點,
所以OE∥BD1
又∵OE⊆平面A1DE,BD1?平面A1DE
∴BD1∥平面A1DE  …(4分)
(2)由題可知:四邊形ADD1A1是正方形
∴A1D⊥AD1  
又∵AB⊥平面ADD1A1,A1D⊆平面ADD1A1
∴AB⊥AD1  
又∵AB⊆平面AD1E,AD1⊆平面A D1E,AB∩AD1=A
∴A1D⊥平面AD1E
又∵D1E⊆平面AD1E
∴A1D⊥D1E  …(8分)
解:(3)在△CED中,CD=2,DE=
AD2+AE2
=
2
CE=
CB2+BE2
=
2

CD2=CE2+DE2
∴CE⊥DE.
又∵D1D⊥平面ABCD,CE⊆平面ABCD
∴CE⊥D1D
又∵D1D⊆平面D1DE,DE⊆平面D1DE,D1D∩DE=D
∴CE⊥平面D1DE
又∵D1E⊥平面D1DE,
∴CE⊥D1E.
∴∠D1ED是二面角D1-ED-D的一個平面角.
在△D1ED中,∠D1DE=90°,D1D=1,DE=
2

tan∠D1ED=
D1D
DE
=
1
2
=
2
2

∴二面角D1-ED-D的正切值是
2
2
…(12分)
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質,解答(1)(2)的關鍵是熟練掌握空間線面關系判定的判定定理,性質和幾何特征,解答(3)的關鍵是判斷出∠D1ED是二面角D1-ED-D的一個平面角.
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②EF⊥平面BCC1B1
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④EF∥平面A1B1C1D1
不成立的是(  )

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2
12
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A、
74
B、5
2
C、4
5
D、3
10

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