Question

如圖，長方體ABCD-A1

B

1

C1D1中，AD=AA₁=1，AB=2，點E是AB的中點．
（1）證明：BD₁∥平面A₁DE
（2）證明：D₁E⊥A₁D
（3）求二面角D₁-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）連結AD₁交A₁D于O，連結EO，由三角形中位線定理，可得OE∥BD₁，進而可由線面平行的判定定理，可得BD₁∥平面A₁DE
（2）根據正方形的幾何特征，可得A₁D⊥AD₁，由AB⊥平面ADD₁A₁結合線面垂直的性質可得AB⊥AD₁，進而由線面垂直的判定定理可得A₁D⊥平面AD₁E，再由線面垂直的性質可得D₁E⊥A₁D
（3）由勾股定理可得CE⊥DE，進而由線面垂直的性質可得CE⊥D₁D，由線面垂直的判定定理得到CE⊥平面D₁DE，結合D₁E⊥平面D₁DE，可得∠D₁ED是二面角D₁-ED-D的一個平面角．解三角形△D₁ED可得二面角D₁-ED-D的正切值．

解答：證明：（1）連結AD₁交A₁D于O，連結EO，
則O為AD₁的中點，又因為E是AB的中點，
所以OE∥BD₁．
又∵OE⊆平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE
∴BD₁∥平面A₁DE  …（4分）
（2）由題可知：四邊形ADD₁A₁是正方形
∴A₁D⊥AD₁  
又∵AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊆平面ADD₁A₁
∴AB⊥AD₁  
又∵AB⊆平面AD₁E，AD₁⊆平面A D₁E，AB∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E
又∵D₁E⊆平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E  …（8分）
解：（3）在△CED中，CD=2，DE=

AD2+AE2

=

2

，CE=

CB2+BE2

=

2

CD²=CE²+DE²
∴CE⊥DE．
又∵D₁D⊥平面ABCD，CE⊆平面ABCD
∴CE⊥D₁D
又∵D₁D⊆平面D₁DE，DE⊆平面D₁DE，D₁D∩DE=D
∴CE⊥平面D₁DE
又∵D₁E⊥平面D₁DE，
∴CE⊥D₁E．
∴∠D₁ED是二面角D₁-ED-D的一個平面角．
在△D₁ED中，∠D₁DE=90°，D₁D=1，DE=

2

∴tan∠D1ED=

D1D

DE

=

1

2

=

2

2

∴二面角D₁-ED-D的正切值是

2

2

…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，解答（1）（2）的關鍵是熟練掌握空間線面關系判定的判定定理，性質和幾何特征，解答（3）的關鍵是判斷出∠D₁ED是二面角D₁-ED-D的一個平面角．