Question

已知直線l:y=2(x-8),拋物線y²=ax(a＞0).

(1)l過拋物線的焦點時,求a;

(2)若△ABC的頂點都在拋物線上,且A點的縱坐標為8,當△ABC的重心與拋物線的焦點重合時,求直線BC的方程.

Answer 1

解:(1)拋物線y²=ax的焦點F(,0)在直線l:y=2(x-8)上,∴2(-8)=0,求得a=32.

(2)∵點A在拋物線y²=32x上,且點A的縱坐標為8,∴點A(2,8).

設B(x₁,y₁)、C(x₂,y₂),

∵△ABC的重心為拋物線的焦點F(8,0),

∴=8,=0.

∴=11,=-4.

∴BC的中點為(11,-4).

又B、C在拋物線上,∴y₁²=32x₁,y₂²=32x₂.∴==-4.

由點斜式,

∴直線BC的方程為4x+y-40=0.