Question

如下圖,已知雙曲線C₁的方程為=1(a＞0,b＞0),A、B為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C₁上的任意一點,引QB⊥PB,QA⊥PA,AQ與BQ交于點Q.

(1)求Q點的軌跡方程;

(2)設(1)中所求軌跡為C₂,C₁、C₂的離心率分別為e₁、e₂,當e₁≥時,求e₂的取值范圍.

Answer 1

(1)解法一:設P(x₀,y₀),Q(x,y),

∵A(-a,0),B(a,0),QB⊥PB,QA⊥PA,

∴

由（1）×（2）,得=1.                                              （3）

∵=1,∴.

代入（3）得b²y²=x²a²-a⁴,

即a²x²-b²y²=a⁴.

經檢驗點(-a,0)、(a,0)不合題意,

因此Q點的軌跡方程為a²x²-b²y²=a⁴〔除點(-a,0),(a,0)外〕.

解法二:設P(x₀,y₀),Q(x,y),

∵A(-a,0),B(a,0),QB⊥PB,QA⊥PA,

∴

∴

由（1）-（2）,得2ax₀=-2ax.

∴x₀=-x.                                                                     （3）

把（3）代入（2）可解得y₀=-.                  （4）

把（3）（4）代入=1,得=1.

∵當x=±a時,不合題意,

∴x²-a²≠0.∴a²x²-b²y²=a⁴.

∴Q點的軌跡方程為a²x²-b²y²=a⁴〔除點(-a,0),(a,0)外〕.

解法三:設P(x₀,y₀),Q(x,y),

∵PA⊥QA,∴=-1.                                                ①

連結PQ,取PQ中點R.

∵PA⊥QA,QB⊥PB,

∴|RA|=|PQ|,|RB|=|PQ|.

∴|RA|=|RB|.∴R點在y軸上.

∴=0,即x₀=-x.                                                        ②

把②代入①,得=-1.∴y₀=.                                      ③

把②③代入=1,得=1.

∵x=±a時,不合題意,∴x²-a²≠0.

整理得a²x²-b²y²=a⁴.

∴Q點的軌跡方程為a²x²-b²y²=a⁴〔除點(-a,0),(a,0)外〕.

(2)解:由(1)得C₂的方程為=1,

.

∵e₁≥,e₂²≤1+=2,∴1＜e₂≤.