Question

如下圖所示，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，點E分有向線所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解析：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸．因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱． 　　依題意，記A(－c，0)，C(，h)，E(x0，y0)，其中c＝｜AB｜為雙曲線的半焦距，h是梯形的高． 　　由定比分點坐標公式得x0＝＝，y0＝． 　　設(shè)雙曲線的方程為－＝1，則離心率e＝． 　　由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e＝代入雙曲線方程得 －＝1，　　　　　　　　　　　① 　　－＝1．　　② 　　由①式得　　＝－1．　　　　③ 　　將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－． 　　由題設(shè)≤λ≤，得≤1－≤． 　　解得≤e≤． 　　所以雙曲線的離心率e的取值范圍為［，］． 　　點評：本題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)以及推理、運算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力．