Question

如下圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，，PA⊥底面ABCD，且，M是PB的中點．

(1)證明：面PAD⊥面PCD；

(2)求AC與PB所成的角的余弦值；

(3)求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.

Answer 1

答案：略
解析：

證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂線定理，得CD⊥PD． 因而，CD與面PAD內兩條相交直線AD、PD都垂直，∴CD⊥面PAD． 又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD． (2)解：過點B作BE∥CA，且BE=CA． 則是AC與PB所成的角或是其補角.連結AE，可知，又AB=2， ∴四邊形ACBE為正方形(如圖)． 由PA⊥面ABCD，得， 在中，， ∴． (3)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結BN.在中，AM=MB， 又AC=CB，∴， ∴BN⊥CM，故為所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在中，CM=MB， ∴CM=AM． ∵在等腰三角形AMC中， ， ∴.∵AB=2， ∴.