Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論；
（3）若點E為PC的中點，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）依據三視圖的數據，以及位置關系，直接求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）連接AC，證明BD⊥平面PAC，說明不論點E在何位置，都有BD⊥AE；
（3）點E為PC的中點，在平面DAE內過點D作DF⊥AE于F，連接BF，說明∠DFB為二面角D-AE-B的平面角，解三角形DFB，求二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
即四棱錐P-ABCD的體積為

2

3

．（5分）
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．（2分）
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PC=

1

3

×12×2=

2

3

，

（2）不論點E在何位置，都有BD⊥AE．（7分）
證明如下：連接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．（9分）
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．（10分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．（11分）
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．（12分）

（3）：在平面DAE內過點D作DF⊥AE于F，連接BF．
∵AD=AB=1，DE=BE=

12+12

=

2

，AE=AE=

3

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角．（15分）
在Rt△ADE中，DF=

AD•DE

AE

=

1× 2

3

=BF，
又BD=

2

，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB=

DF2+BF2-BD2

2DF•BF

=

2× 2 3 -2

2× 2 3

=-

1

2

，（18分）
∴∠DGB=120°，即二面角D-AE-B的大小為120°．（20分）

點評：本題考查由三視圖求面積、體積，二面角及其度量，考查知識的靈活運用能力，計算能力，轉化思想，是中檔題．