Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為

5

2

，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）先證明OB⊥AE，利用BD⊥PE，AE∩PE=E，根據線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAE；
（2）證明PO⊥平面ABCD，再求四棱錐P-ABCD的體積．

解答：（1）證明：∵AB=BC，BE=CD，∠ABC=∠BCD
∴△ABE≌△BCD
∴∠EAB=∠CBD
∴∠BOE=∠EAB+∠OBA=∠CBD+∠OBA=90°
∴OB⊥AE
∵BD⊥PE，AE∩PE=E，
∴BD⊥平面PAE
∵BD?平面ABCD
∴平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）解：過P作PO′⊥AE，O′為垂足
∴平面PAE⊥平面ABCD，
∴PO′⊥平面ABCD，
∴∠PAO′為直線PA與平面ABCD所成角，
∴tan∠PAO′=

5

2

Rt⊥ABE中，OB=

AB×BE

AE

=

2

5

，AO=

4

5

∴

PO

AO

=

5

2

=tan∠PAO′=

PO′

AO′

∴O，O′重合
∴PO⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD×PO=2

點評：本題考查線面垂直、面面垂直，考查四棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．