Question

如下圖,已知雙曲線C的方程為=1(a＞0,b＞0),過右焦點F作直線在第一、三象限的漸近線的垂線l,設垂足為P,且l與雙曲線C的左、右支的交點分別為A、B.

(1)求證:點P在雙曲線C的右準線上;

(2)求雙曲線C的離心率的取值范圍.

Answer 1

(1)證明:設雙曲線的右焦點為F(c,0),在第一、三象限的漸近線方程為y=x,則直線l的方程為y=-(x-c).

解方程組即P(,),

∴P點在右準線上.

(2)解:直線l與雙曲線左、右支各交于一點.由圖形知直線l:y=-(x-c)與漸近線y=-x相交于第二象限.

∴-＞-,即a²＜b².

∴c²=a²+b²＞2a².

∴e=＞.