Question

已知線段AB在平面α內，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，BD與α所成的角是30°，如果AB=3，AC=BD=4，D在平面α上的射影為D′，如圖，求：

（1）線段AC與BD所成的角；

（2）線段CD的長；

（3）二面角C—BD—D′的余弦值.

Answer 1

解：（1）∵D在α上的射影為D′

∴DD′⊥α.

    又∵AC⊥α，∴AC∥DD′.

    即AC與BD所成的角就是BD與DD′所成的角.

    由題意，在Rt△DD′B中，∠BDD′=60°

∴線段AC與BD所成的角為60°.

（2）在Rt△DD′B中，BD′=2，DD′=2，

    連結AD′，可證∠ABD′=90°，得AD′=，

    取AC中點E，可證DE∥D′A，

    在Rt△CED中，CD==5，即CD=5.

（3）連結CB，在Rt△CAB中，CB=5.

    在等腰三角形CBD中取BD中點F，

    則FC⊥BD，在△BDD′中過F作FH⊥BD交BD于H，

    連結CH，則∠CFH就是面CBD與面BDD′所成的角，

    在Rt△BFH中，得FH=，BH=，

    連結AH，得AH=，

    在Rt△CAH中，CH=；在△CFH中，

cosCFH=，

∴所求角的余弦值為.