Question

（本題13分）設，，函數，

（1）設不等式的解集為C，當時，求實數取值范圍；

（2）若對任意，都有成立，求時，的值域；

（3）設 ，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】本試題主要是研究二次函數的 性質的運用。利用函數的單調性和不等式的知識的綜合運用得到。

（1）根據不等式的解集得到C，然后利用集合的并集和集合間的關系得到實數m的范圍

（2）根據對于任意的實數都有函數式子成立，說明函數的對稱軸x=1，然后得到解析式，從而求解給定區間的值域。

（3）利用給定的函數，結合二次函數的圖像與性質得到最值。

解：（1），因為，圖像開口向上，

且恒成立，故圖像始終與軸有兩個交點，由題意，要使這兩個交點橫坐標

，當且僅當：，………3分，解得：  ……4分

（2）對任意都有，所以圖像關于直線對稱，所以，

得．所以為上減函數． 

；．故時，值域為      6分（3）令，則

（i）當時，，當，

則函數在上單調遞減，從而函數在上的最小值為．

若，則函數在上的最小值為，且

（ii）當時，函數，若，

則函數在上的最小值為，且，若，

則函數在上單調遞增，

從而函數在上的最小值為．…………………………1分

綜上，當時，函數的最小值為，當時，

函數的最小值為

當時，函數的最小值為．      13分GH