Question

（本題13分）設橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且是的中點．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下過右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在滿足題意的P，且。

【解析】

試題分析：（1）由得，所以 ……………………………3分

（2）由外接圓圓心，半徑為 所以，解得

所以橢圓方程為         ……………………………6分

（3），設直線，設

聯立消y得

，    ……………………………7分

設的中點，，

由題意，，所以，（由已知）

化簡得 ，        ……………………………11分

所以      

所以存在滿足題意的P，且。     ……………………………13分

考點：橢圓啊標準方程；橢圓的簡單性質；直線與圓的位置關系；直線與橢圓的綜合應用。

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．